Question

过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于，两点，且.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）抛物线上一点，直线（其中）与抛物线交于，两个不同的点（，均不与点重合）.设直线，的斜率分别为，，.直线是否过定点？如果是，请求出所有定点；如果不是，请说明理由.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）直线恒过定点，定点为.

【解析】

（Ⅰ）假设直线方程，联立直线方程与抛物线方程，根据韦达定理以及抛物线的焦点弦性质，可得结果.

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论可得，然后联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理，利用，可得之间的关系，最后根据直线方程特点，可得结果.

（Ⅰ）由题意得：

设直线方程为：

代入抛物线方程得：

设，

∴

∴，

解得：

∴抛物线方程为：

（Ⅱ）由（1）知：抛物线

∴，设，

由得：，

则

∵ ∴，

∴

即：

∴，解得

当时，

∴，

恒过定点

∴直线恒过定点