Question

已知函数，曲线在点处的切线方程为.

（1）求，的值和的单调区间；

（2）若对任意的，恒成立，求整数的最大值.

Answer

（1），，的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）3.

【解析】

（1）求导得到，根据切线方程计算得到，，代入导函数得到函数的单调区间.

（2）讨论，两种情况，变换得到，设

，求函数的最小值得到答案.

（1），由切线方程，知，，

解得，.

故，，

由，得；由，得.

所以的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）①当时，恒成立，则.

②当时，恒成立等价于对恒成立.

令，，.

令，，

则对恒成立，所以在上单调递增.

又，，所以，.

当时，；当时，.

所以，又，

则，

故，整数的最大值为3.