Question

如图，已知椭圆的离心率为，右准线方程为，、分别是椭圆的左、右顶点，过右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于，两点.

（1）求椭圆的标准方程.

（2）记、的面积分别为、，若，求的值；

（3）设线段的中点为，直线与右准线相交于点，记直线、、的斜率分别为、、，求的值.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）设椭圆的焦距为，根据题意列出关于、的方程组，进而可求出的值，由此可得出椭圆的标准方程；

（2）设点，，根据题中三角形面积的比值，可得出，再由点、在椭圆上，可求出点的坐标，即可求出直线的斜率；

（3）依题意可知，点、在椭圆上，根据点差法、三点共线、直线方程、斜率公式，化简整理即可得出的值.

（1）设椭圆的焦距为，

依题意，，且，解得，，故.

所以椭圆的标准方程为；

（2）设点，.

据题意，，即，整理可得，所以.

代入坐标，可得，即.

又点、在椭圆上，所以，解得.

所以直线的斜率；

（3）依题意，点、在椭圆上，

所以，两式相减，得

即，所以，即，

所以直线的方程为，令，得，即.

所以.

又直线的方程为，与椭圆联立方程组，

整理得，

所以，得，.

所以点的坐标为.

同理，点的坐标为.

又点、、三点共线，

所以，整理得，

依题意，，，故.

由可得，，即.

所以.