Question

如图，设椭圆的中心为原点，长轴在轴上，上顶点为，左､右焦点分别为，线段，的中点分别为，且是面积为4的直角三角形，过作直线交椭圆于两点，使，则直线的斜率为______.

Answer

【解析】

由题意设出椭圆的标准方程，结合已知列式求出椭圆方程，再设出直线的方程，联立直线方程和椭圆方程，化为关于的一元二次方程，由根与系数的关系结合向量数量积为0列式求得值，则直线方程可求．

设所求椭圆的标准方程为，右焦点为．

△是直角三角形，又，为直角，

因此，得．

结合，得，故，，离心率．

在△中，，故．

由题设条件△的面积为4，得，从而．

因此所求椭圆的标准方程为：．

则，．

由题意知直线的倾斜角不为0，故可设直线的方程为：．

代入椭圆方程得．

设，，，，则．

又，

由，得，

即，解得．

所以直线的斜率为.

故答案为：