Question

已知函数，，.

(1)求的极值；

(2)若对任意的，当时，恒成立，求实数的最大值；

(3)若函数恰有两个不相等的零点，求实数的取值范围.

Answer

(1)的极小值为，无极大值；(2)；(3) .

【解析】

(1)求出，判断其符号，得出的单调性即可

(2)将变形为，构造函数，转化为在恒成立即可

(3)求出，然后分四种情况讨论

(1)，令，得.

列表如下：

1

－

0

＋

极小值

∵，∴的极小值为，无极大值.

(2)∵，由(1)可知

等价于，

即.

设，则在为增函数.

∴在恒成立.

∴恒成立.

设，∵在上恒成立

∴为增函数.

∴在上的最小值为.

∴，∴的最大值为.

(3)

①当时，当和时，，单调递增

当时，，单调递减

所以的极大值为

所以函数至多一个零点

②当时，，在上单调递增.

③当时，当和时，，单调递增

当时，，单调递减

所以的极大值为

的极小值为

所以函数至多有一个零点.

④当时，当，，单调递增

当时，，单调递减

所以

Ⅰ：当时，即时，函数至多一个零点.

Ⅱ：当时，

所以存在，

所以函数在上有唯一的零点.

又

所以函数在上有唯一的零点.

综上所述：实数的取值范围为.