Question

已知函数f₀(x)＝ (x>0)，设f_n(x)为f_n－1(x)的导数，n∈N^*.

(1)求2f₁＋f₂的值；

(2)证明：对任意的n∈N^*，等式＝都成立．

Answer

（1）；（2）详见解析.

【解析】

（1）由于求两个函数的相除的导数比较麻烦，根据条件和结论先将原函数化为：xf0（x）=sinx，然后两边求导后根据条件两边再求导得：2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，把x= 代入式子求值；

（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx和2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，利用相同的方法再对所得的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再进行猜想得到等式，用数学归纳法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明，最后再把x=代入所给的式子求解验证．

【解析】
(1)由已知，得f1(x)＝f′0(x)＝，

于是f2(x)＝f1′(x)＝=，

所以，．

故=－1.

(2)证明：由已知得，xf0(x)＝sin x，等式两边分别对x求导，得f0(x)＋xf0′(x)＝cos x，

即f0(x)＋xf1(x)＝cos x＝.

类似可得

2f1(x)＋xf2(x)＝－sin x＝sin(x＋π)，

3f2(x)＋xf3(x)＝－cos x＝，

4f3(x)＋xf4(x)＝sin x＝sin(x＋2π)．

下面用数学归纳法证明等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝对所有的n∈N*都成立．

(i)当n＝1时，由上可知等式成立．

(ii)假设当n＝k时等式成立，即kfk－1(x)＋xfk(x)＝.

因为[kfk－1(x)＋xfk(x)]′＝kfk－1′(x)＋fk(x)＋xfk′(x)＝(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)，

,

所以(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)＝，

因此当n＝k＋1时，等式也成立．

综合(i)(ii)可知，等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝对所有的n∈N*都成立．

令x＝ ，可得

所以