Question

在四棱锥中，底面为正方形，.

（1）证明：面⊥面；

（2）若与底面所成的角为， ，求二面角的余弦值．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）要证面面垂直，一般先证线面垂直，设AC与BD交点为O，则PO⊥BD，而正方形中AC⊥BD，于是可证得结论．

（2）由线面角的定义可得，以A为坐标原点，为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系，然后写出各点坐标，求出面BPC和面DPC的法向量，再由法向量的夹角的余弦值得二面角的余弦．

（1）证明：连接AC,BD交点为O，∵四边形ABCD为正方形，∴

∵，,∴,又∵,∴

又,∴.

（2）∵，过点P做,垂足为E

∴∵PA与底面ABCD所成的角为，∴,

又，设,则

如图所示，以A为坐标原点，为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系

设面法向量为，

,∴，

，∴

同理的法向量，

∴求二面角的余弦值