Question

在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上.

 

（1）求椭圆的方程；

（2）已知圆，连接并延长交圆于点为椭圆长轴上一点（异于左、右焦点），过点作椭圆长轴的垂线分别交椭圆和圆于点（均在轴上方）.连接，记的斜率为，的斜率为.

①求的值；

②求证：直线的交点在定直线上.

Answer

（1）；（2）①2，②证明见解析.

【解析】

（1）根据焦距可得，再将点代入椭圆的方程，可得椭圆方程；

（2）①设，代入椭圆方程计算可得，再得到，计算即可得结果；②直线的方程为，直线的方程为，消去可得结果.

（1）设椭圆的焦距为，则，

所以.

又因为在椭圆上，

所以，

解得，

所以椭圆的方程为.

（2）①设，则，所以，即.

又因为均在轴上方，所以.

因为，所以.

②因为，所以直线的方程为，易得，所以直线的方程为，又因为直线的方程为，

所以，解得.

所以直线的交点在轴上.