Question

某生态农场有一矩形地块，地块内有一半圆形池塘（如图所示），其中百米，百米，半圆形池塘的半径为1百米，圆心与线段的中点重合，半圆与的左侧交点为.该农场计划分别在和上各选一点，修建道路，要求与半圆相切.

（1）若，求该道路的总长；

（2）若为观光道路，修建费用是4万元/百米，为便道，修建费用是1万元/百米，求修建观光道路与便道的总费用的最小值.

Answer

（1）百米；（2）万元.

【解析】

（1）利用图中边角关系，分别计算出，的长度，相加即可；

（2）设，得的取值范围是，可得修建观光道路与便道的总费用，利用导数求其最值即可.

（1）因为，所以.

而,

所以.

答：道路的总长为百米.

（2）设.

若点与点重合，则；

若点与点重合，则，

所以由题意，的取值范围是.

设切点为，连结.

则.

设修建观光道路与便道的总费用为万元，则

.

设，

则.

令，得，令，且.

列表如下：

-

0

+

↘

极小值

↗

所以当时，取得最小值.

所以.

答：修建观光道路与便道的总费用的最小值为万元.