Question

已知函数.

（1）若函数与有相同的极值点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值），求的值；

（2）记.

①若在区间（为自然对数底数）上至少存在一点，使得成立，求的取值范围；

②若函数图象存在两条经过原点的切线，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）①或，②.

【解析】

（1）利用导数求出与的极值点即可；

（2）①转化为求在上恒成立，再求其补集即可，即有，令，求导，分和讨论求值最小值，列不等式求出的取值范围，再求其补集即可；

②设切点，求出切线方程，可把问题转化为函数在上有两个零点，利用导数，分，，讨论求出单调性和极值，进而可得结果.

（1）因为，所以.

令，解得（舍去）.

1

+

0

-

↗

极大值

↘

所以为函数的极大值点.

因为，所以.

令，解得.

+

0

-

↗

极大值

↘

所以为函数的极大值点.

因为函数与有相同的极值点，所以.

（2）①.

先求在上恒成立，即有.

令，则，令，得.

若，则当时，单调递减；

当时，单调递减，所以，得.

若时，同理得，得.

综上，的取值范围为或；

②设切点，

则切线方程为，又切线过原点，

则，整理得

设，题意即为，函数在上有两个零点.

由于.

（i）当时，无零点；

（ii）当时，在上递减，此时不可能存在两个零点，故不满足条件；

（iii）当时，令，

－

0

＋

↘

极小值

↗

所以极小值.

要使函数在上有两个零点，则必须满足，所以.

因为在连续且为增函数，所以在唯一零点.

因为，而在连续且为减函数，故在有唯一零点.

所以当时，在有两个零点，满足条件.

故所求的取值集合为.