Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为，离心率为．

Ⅰ求椭圆C的方程；

Ⅱ若过点的直线与椭圆C交于A，B两点，且P点平分线段AB，求直线AB的方程；

Ⅲ一条动直线l与椭圆C交于不同两点M，N，O为坐标原点，的面积为求证：为定值．

Answer

Ⅰ；Ⅱ；Ⅲ见解析

【解析】

Ⅰ设椭圆方程为，由题意可得b，运用离心率公式和a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；

Ⅱ设，，运用中点坐标公式和点满足椭圆方程，作差，由直线的斜率公式可得AB的斜率，进而得到所求直线方程；

Ⅲ设，，则，分别讨论直线MN的斜率是否存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式，三角形的面积公式，化简整理即可得到所求定值．

Ⅰ设椭圆方程为，

即有，即，，即，

由，可得，

则椭圆方程为；

Ⅱ设，，点为AB的中点，可得

，，

由，，相减可得

，

可得，

即有直线AB的方程为，化为；

Ⅲ设，，则，

当直线l的斜率不存在时，M，N关于x轴对称，即，，

由，的面积为，可得，

即有，，可得；

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，

代入椭圆方程，可得，

可得，，

，可得，

，

O到直线l的距离为，

则，

化为，

即有，

，

则，

综上可得，为定值5．