Question

定义域在R的单调增函数满足恒等式（x，），且.

(1)求，；

(2)判断函数的奇偶性，并证明；

(3)若对于任意，都有成立，求实数k的取值范围.

Answer

(1)，；(2)是奇函数，证明见解析；(3).

【解析】

(1)运用赋值法,代入求出的值,代入,结合已知条件求出的值.

(2)令代入已知的恒等式中,结合函数奇偶性的定义判断出函数的奇偶性.

(3)由(2)知函数为奇函数,运用奇函数性质进行化简,再结合函数的单调性求解不等式,解出实数k的取值范围.

(1)令可得,

令,∴∴∴;

(2)令∴∴,即

∴函数是奇函数.

(3)∵是奇函数,且在时恒成立,

∴在时恒成立,

又∵是R上的增函数.

∴即在时恒成立.

∴在时恒成立.

令,

∵∴.由抛物线图象可得∴.

则实数k的取值范围为.