Question

棱长为a的正四面体ABCD与正三棱锥的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥的表面积为（    ）

A. B. C. D.

Answer

A

【解析】

由棱长为的正四面体求出外接球的半径，进而求出正三棱锥的高及侧棱长，可得正三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，进而求出正三棱锥的表面积.

由题意，多面体ABCDE的外接球即正四面体ABCD的外接球，

由题意可知面交于，连接，则

且其外接球的直径为AE，易求正四面体ABCD的高为.

设外接球的半径为R，由得.

设正三棱锥的高为h，因为，所以.

因为底面的边长为a，所以，

则正三棱锥的三条侧棱两两垂直.

即正三棱锥的表面积，

故选：A.