Question

已知.

（1）若函数在单调递减，求实数的取值范围；

（2）令，若存在，使得成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）对讨论，，，，结合二次函数的图象和单调性的性质，得到不等式组，解不等式即可得到的范围；

（2）由题意可得在上，成立， ，令，则．对讨论，（i）当时，（ii）当时，求出单调性和最值，即可得到的范围.

（1）①当时，，显然满足，

②，③，

综上实数的取值范围：.

（2）存在，使得成立即：

在上，，

因为，令，

则

（i）当时，在上单调递减，所以，

等价于，所以；

（ii）当时，，

在上单调递减，在上单调递增.

①当时，即，在上单调递增.

由得到，所以.

②当时，即，在上单调递减，

由得到，所以.

③当时，即，，最大值则在与中取较大者，

作差比较，得到分类讨论标准：

a.当时，，此时，

由，

得到或，

所以

b.当时，，此时，

由，得到，此时无解，

在此类讨论中，

c.当，在上单调递增，由，

得到，所以，

综合以上三大类情况，