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已知函数与,若对任意的,都存在,使得,则实数的取值范围是______.

已知函数,若对任意的,都存在,使得,则实数的取值范围是______.

 

【解析】 求出函数在区间上的值域为,由题意可知,由,可得出,由题意知,函数在区间上的值域包含,然后对分、、三种情况分类讨论,求出函数在区间上的值域,可得出关于实数的不等式(组),解出即可. 由于函数在上的减函数,则,即, 所以,函数在区间上的值域为. 对于函数,内层函数为,外层函数为. 令,得. 由题意可知,函数在区间上的值域包含. 函数的图象开口向上,对称轴为直线. (i)当时,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,则,,即, 此时,函数在区间上的值域为, 由题意可得,解得,此时,; (ii)当时,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,则,,即, 此时,函数在区间上的值域为, 由题意可得,解得或,此时; (iii)当时,函数在区间上单调递减,则,,则函数在区间上的值域为, 由题意可得,解得,此时,. 综上所述,实数的取值范围是.
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