Question

已知函数（），.

(1)若对任意的，，都有恒成立，试求m的取值范围；

(2)用表示m，n中的最小值，设函数（），讨论关于x的方程的实数解的个数.

Answer

(1)；(2)见解析.

【解析】

（1）根据恒成立转化为恒成立，即来研究函数的最值，再分当，，时三种情况分分类讨论求解.

（2） 将方程的实数解的个数，转化为函数零点的个数问题来研究，根据函数的定义，分，，，即，，三种情况下，对讨论.

（1），

当，即时，在上单调递增，

，，

所以，

解得，不合题意舍去，

当时，在上单调递减，在上单调递增，

，，

而，，

所以有，

解得，即，

当即时，在上单调递减，

，，

，

解得，不合题意，

.综上所述，m的取值范围为.

（2）方程的实数解的个数函数零点的个数.

①当时，，所以，

所以函数在上没有零点，即方程在上没有实数解；

②当时，，，

若，即时，

，所以是函数的零点，

即方程有一实数解，

若，即，

，所以此时不是函数的零点，

即方程此时无实数解；

.③当时，，所以只需考虑在上的零点个数，

则由得，即问题等价于直线与函数，图象的交点的个数.

由于对勾函数在上单调递减，在上单调递增，

结合，的图象可知，

当时，与函数，的图象没有交点，

即函数在上没有零点，即方程在上没有实数解；

当或时，在上有一个实数解；

当时，在上有两个实数解；

综上所述，当或时，方程有一个实数解，

当或时，方程在上有两个实数解，

当时，方程在上有三个实数解.