Question

已知动圆过定点且与轴相切，点关于圆心的对称点为，点的轨迹为.

（1）求曲线的方程；

（2）一条直线经过点，且交曲线于、两点，点为直线上的动点.

①求证：不可能是钝角；

②是否存在这样的点，使得是正三角形？若存在，求点的坐标：否则，说明理由.

Answer

（1）；（2）①证明见详解；②存在，.

【解析】

（1）设出E点的坐标，根据EF中点为M，MF的距离等于M点纵坐标的绝对值，整理化简即可求得；

（2）①将证明钝角的问题，转化为是否可以成立的问题，从而进行证明；

②假设存在这样的点，则C点到AB中点的距离等于，据此求解.

（1）设，由在圆上，且点关于圆心的对称点为.

故

所以，则

化简得，

所以曲线的方程为

（2）①设直线：，，，，

所以，，，

，

+1

故不可能为钝角

②假设存在这样的点，设中点为

由①知

由，故

得

所以

又

由，得

所以存在点满足题意.