Question

已知函数.

（1）当，且的最大值为，求的值；

（2）方程在上的两解分别为、，求的值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，令，可得，再令，可将问题转化为二次函数在上的最大值为，利用二次函数的基本性质可求出实数的值；

（2）设，由题意求得，，，由两角差的余弦公式可求出的值，求出的取值范围，进而利用二倍角余弦公式可求出的值.

（1），

当时，令，则，则.

，

令，令，该二次函数图象开口向上，对称轴为直线.

①当时，二次函数在区间上单调递减，

则，不合乎题意；

②当时，二次函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则，解得或（舍）；

③当时，二次函数在区间上单调递增，

则，解得（舍）.

综上所述，；

（2）设，，则，

由于正弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

由，得，

因为方程在上的两解分别为、，

则，必有，，

所以，，同理，

，

由于，且，，则，

由，可得.