Question

已知正三棱柱的六个顶点都在球的表面上，，异面直线与所成角的余弦值为，则_______，球的表面积为_______.

Answer

4

【解析】

分别取的中点，连接因为,则 (或其补角)为异面直线与所成的角，运用余弦定理可求得的长,设上下底面的中心为,连接,则球的球心为的中点,连接,根据勾股定理可求得球半径,再运用球体的表面积公式可求得球体的表面积.

分别取的中点，连接

因为,则 (或其补角)为异面直线与所成的角，

设正三棱锥的高为,,则有,在△EFG中，由余弦定理得：

,解得,所以,

设上下底面的中心为,连接,则球的球心为的中点,连接,则,

所以球的表面积为,

故答案为:.