Question

已知正三棱柱的六个顶点都在球的表面上，若这个三棱柱的体积为，，则_______，球的表面积为_______.

Answer

4

【解析】

根据三棱柱题意,结合底边棱长即可求得三棱柱的高.找到外接球的球心,由勾股定理即可求得外接球半径长,进而得球的表面积.

根据题意,设三棱柱的高

因为三棱柱的体积为,

所以,代入可得

解得

正三棱柱的六个顶点都在球的表面上

由球的截面性质可知,球心位于底面外接圆圆心的垂线上.结合棱柱的对称性可知,球心在上下底面中心连线的中点上.

底面的外接圆半径为,则由正弦定理可知,代入可得

由勾股定理可知正三棱柱外接球的半径R满足

,代入可得

则由球的表面积公式可知正三棱柱外球球的表面积为

故答案为: ;