Question

已知椭圆：，四点，，，中恰有三点在椭圆上.

（1）求的方程；

（2）设的短轴端点分别为，，直线：交于，两点，交轴于点，若，求实数的值.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）根据所给四个点的坐标可知,关于轴对称,当恰有三点在椭圆上时,椭圆必经过,.将坐标代入椭圆方程可得等量关系.由点和椭圆的位置关系,可判断出不在椭圆上,将代入椭圆方程,即可求得,得椭圆方程.

（2）设出直线与椭圆的两个交点坐标和与y轴的交点坐标.利用两点间距离公式可表示出.将直线方程与椭圆方程联立,根据两个交点可知判别式,求得的取值范围.结合韦达定理表示出.根据坐标表示出,再由等量关系,即可消去求得的值.

（1）由于,关于轴对称,当恰有三点在椭圆上时,椭圆必经过,.

所以.

又将代入椭圆方程可知,所以不经过点,

则点在椭圆上,所以代入可得,即

因此,

故的方程为.

（2）直线:.则,设与的两个交点分别为,,,

则,

由两点间距离公式可知,

.

将直线方程与椭圆方程联立,化简可得.

当时,即时,

.

所以.

由（1）得,所以.

等式可化为.

因为,所以.