Question

在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线过点.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若直线与交于，两点，且，求倾斜角的值.

Answer

（1）：（是参数），：；（2）

【解析】

（1）根据直线的倾斜角和所过定点,可直接写出直线的参数方程;根据极坐标与直角坐标方程的转化公式,即可求得曲线的直角坐标方程;

（2）将参数方程与曲线方程联立,由参数方程的几何意义求得.根据有两个交点,则判别式,可舍去不符合要求的解.

（1）因为的倾斜角为,过点,所以直线的参数方程是

（是参数）.

因为,所以,

由,得曲线的直角坐标方程是.

（2）把的参数方程代入,得.

设,对应的参数分别为,,

则

由参数方程的几何意义可得则.

而

所以,

解得或

又因为有两个交点,满足

化简可得

当时,,此时与上式矛盾

故