Question

已知函数.

（1）若函数在时取得极值，求实数的值；

（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.

Answer

(1)；(2)

【解析】

试题（1）由 ，依题意有： ，即 ，通过检验满足在 时取得极值． （2）依题意有： 从而 ，令，得：，，通过讨论① 和②，进而求出 的取值范围.

试题解析：

（1），

依题意有，即，解得.

检验：当时，.

此时，函数在上单调递减，在上单调递增，满足在时取得极值.

综上可知.

（2）依题意可得：对任意恒成立等价转化为在上恒成立.

因为，

令得：，.

①当，即时，函数在上恒成立，则在上单调递增，

于是，解得，此时；

②当，即时，时，；时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，

于是，不合题意，此时.

综上所述，实数的取值范围是.