Question

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）求在区间上的最小值；

（3）若在区间上恰有两个零点，求的取值范围.

Answer

（1）函数在单调递减，在单调递增；（2）当时，函数的最小值为，当时，函数的最小值为，当时，函数的最小值为；（3）

【解析】

（1）求出导函数，根据，即可求解单调区间；

（2）结合（1）分类讨论当时，当时，当时，分别求解最小值；

（3）结合（2）的结论，分析两个零点满足的条件列不等式组求解.

（1），

由得，由得，

函数在单调递减，在单调递增；

（2）由（1）函数在单调递减，在单调递增，

当时，，函数在单调递增，

所以函数的最小值为，

当时，，函数在单调递减，在单调递增，

所以函数的最小值为，

当时，，函数在单调递减，

所以函数的最小值为，

综上所述：当时，函数的最小值为，当时，函数的最小值为，当时，函数的最小值为；

（3）若在区间上恰有两个零点，则在区间上不单调，

所以必有，且，

解得：