Question

若项数为的单调增数列满足：①；②对任意，存在使得；则称数列具有性质.

（1）分别判断数列1，3，4，7和1，2，3，5是否具有性质，并说明理由；

（2）若数列具有性质，且.

（i）证明数列的项数；

（ii）求数列中所有项的和的最小值.

Answer

（1）数列1，3，4，7不具备性质P，数列1，2，3，5具有性质；（2）（i）证明见解析，（ii）75

【解析】

（1）根据定义验证即可得解；

（2）（i）根据数列关系分析，结合，即可得到，即可得证；

（ii）构造数列：1,2,4,5,9,18,36，或1,2,3,6,9,18,36，再证明75是最小值.

（1）因为，数列1，3，4，7不具备性质P，

，所以数列1，2，3，5具有性质；

（2）（i）证明：数列单调递增，具有性质，且，，

所以，即，所以，，

所以，

所以；

（ii）构造数列：1,2,4,5,9,18,36，或1,2,3,6,9,18,36，显然这两个数列满足性质，

且数列之和均为75，下面说明75为数列中所有项的和的最小值，

若18在数列中，要求数列中的所有项的和最小，则，

若18不在数列中，，由（i）可知，

数列所有项之和，

所以要使所有项之和最小，必有，

同理可得要使数列中所有项的和最小，必有，，

同理可得：或5，

依次类推，要使数列中的所有项的和最小，该数列为1,2,4,5,9,18,36，或1,2,3,6,9,18,36，

综上所述：数列中所有项的和的最小值为75.