Question

已知数列中，，，设，若对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．

Answer

【解析】

∵，（，），当时，，，…，，并项相加，得：，
∴，又∵当时，也满足上式，
∴数列的通项公式为，∴
，令（），

则，∵当时，恒成立，∴在上是增函数，
故当时，，即当时， ，对任意的正整数，

当时，不等式恒成立，则须使，即对恒成立，即的最小值，可得，∴实数的取值范围为，故答案为.