Question

某超市从年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取个，并按、、、、分组，得到频率分布直方图如图，假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立.

（1）写出频率分布直方图甲中的的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为、，试比较与的大小；（只需写出结论）

（2）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于箱且另一个不高于箱的概率；

（3）设表示在未来天内甲种酸奶的日销售量不高于箱的天数，以日留住量落入各组的频率为概率，求的分布列和数学期望.

Answer

（1），；（2）；（3）分布列见解析，数学期望为.

【解析】

（1）由各小矩形面积和为，先求出，由频率分布直方图可看出，甲的销售量比较分散，而乙较为集中，由此能比、的大小；

（2）分两种情况讨论：甲种酸奶的销售量高于箱，乙种酸奶的销售量不高于箱；甲种酸奶的销售量不高于箱，乙种酸奶的销售量高于箱.然后利用独立事件的概率乘法公式可计算出所求事件的概率；

（3）由题意得出，利用二项分布可得出随机变量的分布列，并计算出随机变量的数学期望.

（1）由各小矩形面积和为，得，解得，

由频率分布直方图可看出，甲的销售量比较分散，而乙较为集中，主要集中在箱，故；

（2）设事件：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于箱；

事件：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于箱；

事件：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于箱且另一个不高于箱．

则，，

；

（3）由题意可知，，，

，，

，

所以，随机变量的分布列如下表所示：

随机变量的数学期望为.