Question

已知函数，

（1）当时，求的单调区间；

（2）当，讨论的零点个数；

Answer

（1）单调递减区间为：，；单调递增区间为：，；（2）当时，在上有2个零点，当时，在上无零点.

【解析】

（1）先判断为偶函数，再利用导数研究上的单调性，根据偶函数的对称性，得到答案.（2）先求出导函数，然后对按照，，进行分类讨论，当，得到在单调递增，结合，判断出此时无零点，当，得到单调性，结合，的值，以及偶函数的性质，得到零点个数.

【解析】
∵∴为偶函数，

只需先研究

当，，当，，

所以在单调递增，在，单调递减

所以根据偶函数图像关于轴对称，

得在单调递增，在单调递减，

.故单调递减区间为：，；单调递增区间为：，

（2）

①时，在恒成立

∴在单调递增

又，所以在上无零点

②时，，

使得，即.

又在单调递减，

所以，，，

所以，单调递增，，单调递减，

又，

（i），即时

在上无零点，

又为偶函数，所以在上无零点

（ii），即

在上有1个零点，

又为偶函数，所以在上有2个零点

综上所述，当时，在上有2个零点，当时，在上无零点.