Question

如图，在四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，，且与均为等边三角形，为的中点，为的外心.

 

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积.

Answer

（1）证明见解析

（2）

【解析】

（1）利用平行线成比例定理，结合三角形重心的性质，可以得到线线平行，最后根据线面平行的判定定理证明即可；

（2）利用面面垂直的性质定理可以得到线面垂直，根据三棱锥体积的等积性，最后求出三棱锥的体积即可.

证明：连接交于，连接.

由梯形，且，知，

又为的中点，为的重心，∴.

在中，，故.

又平面，平面，∴平面.

（2）由平面平面，与均为正三角形，为的中点，

∴，，得平面，且.

由（1）知平面，∴，

又由梯形，，且，知，

又为正三角形，得，

∴，得，

∴三棱锥的体积为.