Question

已知抛物线，且过抛物线焦点作直线交抛物线所得最短弦长为，过点作斜率存在的动直线与抛物线交于两点.

（1）求抛物线的方程；

（2）若过点作轴的垂线，则轴上是否存在一点，使得直线与直线的交点恒在一条直线上？若存在，求该点的坐标及该定直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）

（2）存在定直线，此时

【解析】

（1）设出直线方程，与抛物线方程联立，结合抛物线的定义求出弦长的表达式，根据题意求出抛物线的方程；

（2）设，，根据三点共线，结合斜率公式，可得的关系，利用解方程组，求出直线与直线的交点的坐标，最后可以求出定直线，以及点坐标.

（1）抛物线的焦点坐标为：，过该焦点的直线方程为：，与抛物线方程联立得：设直线与抛物线的交点为：

，所以有，而由抛物线的定义可知：

，因为，所以当时，有最小值，所以，所以抛物线方程为.

（2）设，，由三点共线，

得，

直线的斜率，直线的方程为，

直线的方程为，设直线与直线的交点为，

联立，，

，

当时，，

故存在定直线，此时.