Question

如图，在三棱柱中，侧面底面，四边形为菱形，是边长为2的等边三角形，，点为的中点.

（1）若平面与平面交于直线，求证：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

(1) 证明见解析； （2）

【解析】

（1）由条件有平面，根据线面平行的性质可证.
（2）先证明平面 ，然后建议空间直角坐标系，用向量法求二面角的余弦值.

（1） 证明：在三棱柱中，，平面 .

所以平面，且平面

平面平面

所以，所以.

（2）由四边形为菱形，且

所以为等边三角形且点为的中点..

则，又侧面底面.

面底面.

所以平面.

又是等边三角形，且点为的中点..

则.

所以.

以分别为 轴建立空间直角坐标系,

所以

设面的一个法向量为.

则 ，即

取

设面的一个法向量为.

则 ，即

取

所以.

所以二面角的余弦值为.