Question

已知椭圆，长轴长为4，，分别为椭圆的左，右焦点，点是椭圆上的任意一点，面积的最大为，且取得最大值时为钝角.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知圆，点为圆上任意一点，过点的切线分别交椭圆于两点，且，求的值.

Answer

（1） （2）

【解析】

(1)由条件，当点在短轴的端点或时，的面积最大得，又当的面积取得最大值时为钝角得 ，可解出椭圆方程.

(2)分切线的斜率存在和不存在两种情况计算，由，即 方程联立代入结合直线与圆相切计算可得答案.

(1)设，短轴的端点分别为.

由椭圆的长轴为4，则.

当点在短轴的端点或时，的面积最大，则 ……

当的面积取得最大值时为钝角.

即，所以，即……………

又 ………

由解得：

所以椭圆方程为：.

(2)设圆上过点的切线为直线 .

当直线的斜率不存在时， ，则

由，即，解得：.

当直线的斜率存在时，设

由直线与圆相切得：即：.

设

由 得：

则

由，即

所以，即

所以

即，则.

由得.

所以.

综上所述的值为.