Question

已知函数.

（1）讨论时，函数的单调性；

（2）若，函数有两个零点，求实数的取值范围.

Answer

（1）当 时，在上单调递减. 当 时，在上单调递增，在上单调递减. （2）

【解析】

(1)当时，求出函数 的导函数，讨论和，对进行讨论即可.
(2)分离参数得方程有两个根，设函数，讨论的单调性，从而可得到答案.

(1) 当时，，则

当 时， 在上恒成立，则此时单调递减.

当 时，由，即，得

由，即，得.

综上所述，当 时，在上单调递减.

当 时，在上单调递增，在上单调递减..

(2) 函数有两个零点，即方程有两个根.

设

则

设，则

所以在 上单调递增且.

所以当 时，;当 时. .

所以当 时， ，在上单调递减.

当 时，,在上单调递增.

因此.

又当 时，且时，.

方程有两个根.

则

所以函数有两个零点实数的取值范围是.