Question

函数f（x）是定义在R上的奇函数,下列说法:

①f（0）=0;

②若f（x）在[0,+∞）上有最小值为-1,则f（x）在（-∞,0]上有最大值为1;

③若f（x）在[1,+∞）上为增函数,则f（x）在（-∞,-1]上为减函数;

④若x>0时,f（x）=x²-2x,则x<0时,f（x）=-x²-2x．其中正确说法的个数是（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

Answer

C

【解析】

试题因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（-x）=-f（x），所以f（0）=0，故①对；

因为奇函数的图象关于原点对称，所以f（x）在[0，+∞）上有最小值为-1，则f（x）在（-∞，0]上有最大值为1；故②对；

因为奇函数的图象关于原点对称，所以f（x）在[1，+∞）上为增函数，则f（x）在（-∞，-1]上为增函数；故③错；

对于④，设x＜0，则-x＞0，因为x＞0时，f（x）=x2-2x，所以f（-x）=（-x）2-2（-x）=x2+2x，

因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）=-x2-2x，故④对；

所以正确的命题有①②④，