Question

如图，已知点F为抛物线C：（）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，.

（1）求抛物线C的方程.

（2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）（2）存在唯一的点，使直线PM，PN关于x轴对称

【解析】

（1）当直线l的倾斜角为45°，则的斜率为1，则直线方程为，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理可得，根据焦点弦公式，求出的值，即可得到抛物线方程.

（2）假设满足条件的点P存在，设，当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为（），联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，因为直线PM，PN关于x轴对称，所以，即可求出的值. 当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可.

【解析】
（1）当直线l的倾斜角为45°，则的斜率为1，

，的方程为.

由得.

设，，则，

∴，，

∴抛物线C的方程为.

（2）假设满足条件的点P存在，设，由（1）知，

①当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为（），

由得，

，

，.

∵直线PM，PN关于x轴对称，

∴，，.

∴，

∴时，此时.

②当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，

易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可.

综上，存在唯一的点，使直线PM，PN关于x轴对称.