Question

已知函数，是的导函数，且，.

（1）求的解析式，并判断零点的个数；

（2）若，且对任意的恒成立，求k的最大值.（参考数据：，）

Answer

（1），1个；（2）4

【解析】

（1）由，待定系数即可求得解析式，再令，求解零点；

（2）分离参数，将恒成立问题转化为最值问题，利用导数求解函数单调性及最值.

（1）因为，

所以.

因为，，

所以，.

解得，

故

，令，解得

故当函数单调递减；当函数单调递增；

又，，故函数在存在一个零点；

当时，，故，

故函数在区间上不存在零点；

综上所述：函数只有1个零点.

（2）因为，所以

等价于.

设，

则.

令，

则，故在上单调递增.

因为，，

所以存在，使得，

即，

则在上单调递减，在上单调递增，

故.

因为对任意的恒成立，

所以.

因为，且，

所以k的最大值是4.