Question

已知函数常数）满足.

（1）求出的值，并就常数的不同取值讨论函数奇偶性；

（2）若在区间上单调递减，求的最小值；

（3）在（2）的条件下，当取最小值时，证明：恰有一个零点且存在递增的正整数数列，使得成立.

Answer

（1），时是偶函数，时，非奇非偶函数；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

试题（1）直接代入已知可求得，根据奇偶函数的定义可说明函数是奇（偶）函数，如果要说明它不是奇（偶）函数，可举例说明，即或；（2）据题意，即当时，总有成立，变形整理可得，由于分母，故，即，注意到，，从而，因此有；（3）在（2）的条件下，，理论上讲应用求出零点，由函数表达式可看出，当时，无零点，当时，函数是递增函数，如有零点，只有一个，解方程，即，根据零点存在定理确定出，这个三次方程具体的解求不出，但可变形为，想到无穷递缩等比数列的和，有，因此可取.证毕.

（1）由得，解得.

从而，定义域为

当时，对于定义域内的任意，有，为偶函数 2分

当时，从而，不是奇函数；，不是偶函数，非奇非偶. 4分

（2）对于任意的，总有恒成立，即，得. 6分

，，，从而.

又，∴，的最小值等于. 10分

（3）在（2）的条件下，.

当时，恒成立，函数在无零点. 12分

当时，对于任意的，恒有，

即，所以函数在上递增，又，，

在是有一个零点.

综上恰有一个零点，且15分

，得，

又，故，

取18分