Question

已知函数f（x）＝x²+1，g（x）＝4x+1，的定义域都是集合A，函数f（x）和g（x）的值域分别为S和T，

（1）若A＝[1，2]，求S∩T

（2）若A＝[0，m]且S＝T，求实数m的值

（3）若对于集合A的任意一个数x的值都有f（x）＝g（x），求集合A．

Answer

（1）S∩T＝{5}．（2）m＝4（3）{0]，或{4}或{0，4}．

【解析】

（1）根据定义域，求得两个函数的值域，再求交集即可；

（2）根据函数单调性，得，解方程即可；

（3）由题意，解方程f（x）＝g（x）即可.

（1）若A＝[1，2]，

则函数f（x）＝x2+1的值域是S＝[2，5]，

g（x）＝4x+1的值域T＝[5，9]，

∴S∩T＝{5}．

（2）若A＝[0，m]，则S＝[1，m2+1]，T＝[1，4m+1]，

由S＝T得m2+1＝4m+1，

解得m＝4或m＝0（舍去）．

故.

（3）若对于A中的每一个x值，都有f（x）＝g（x），

即x2+1＝4x+1，

∴x2＝4x，

解得x＝4或x＝0，

∴满足题意的集合是{0]，或{4}或{0，4}．