Question

已知函数，且．

（）求函数在上的单调区间，并给出证明．

（）设关于的方程的两根为，，试问是否存在实数，使得不等式对任意的及恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（）见解析；（）或

【解析】

试题根据，求解，可得解析式，利用定义即可证明；

（2）由，可得，利用韦达定理求得的范围，转化为一个新函数在恒成立，即可求解实数的取值范围．

试题解析：

（），∴，∴，

令，解得，

在上任取，且，

则

．

∵，∴，．

当时，，

∴，

在上单调递减，

当时，，，

∴在上单调递增．

（），则，

整理得．∴，

∴ ．

∵，∴．

∵对于任意的，，恒成立，

∴对于任意的恒成立．

即对于任意的恒成立．

∴，解得或．