Question

在平面直角坐标系中，定义为两点AB的“切比雪夫距离”，又设点P及上任意一点Q,称的最小值为点P到直线的“切比雪夫距离”，记作,给出下列三个命题：

①对任意三点A、B、C，都有

②已知点P(2,1)和直线,则

③定点动点P满足则点P的轨迹与直线(为常数)有且仅有2个公共点.

其中真命题的个数是（    ）

A.0 B.1 C.2 D.3

Answer

C

【解析】

①讨论三点共线和不共线，结合图象与新定义即可判断；

②设点直线一点，且，可得，讨论即可得出即可判断；

③讨论点在坐标轴和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断．

【解析】
①对任意三点、、，

若它们共线，设，、，、，，如图，

结合三角形的相似可得,,分别为,,或,,，

则；

若,或,对调，可得；

若它们不共线，且三角形中为锐角或钝角，如图，

由矩形或矩形，

；

则对任意的三点，，，都有；

故①正确；

②设点直线一点，且，可得，

由，解得，即有，

当时，取得最小值；

由，解得或，即有，

的范围是，无最值，

综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为，

故②错误；

③定点、，动点满足，

可得不轴上，在线段间成立，

可得，解得，

由对称性可得也成立，即有两点满足条件；

若在第一象限内，满足即为，为射线，

由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，

则点的轨迹与直线为常数）有且仅有2个公共点，

故③正确；

真命题的个数是2，

故选：C．