Question

已知双曲线的两个焦点为点在双曲线C上.

（1）求双曲线C的方程；

（2）已知Q(0,2)，P为双曲线C上的动点,点M满足求动点M的轨迹方程；

（3）过点Q(0,2)的直线与双曲线C相交于不同的两点E、F，若求直线的方程.

Answer

（1）；（2）；（3），或．

【解析】

（1）依题意，由，得双曲线方程为，将点代入上式，能求出双曲线方程；

（2）设由题意为线段的中点，则，由此能得到动点的轨迹方程；

（3）设直线的方程为，代入双曲线的方程并整理，得．直线与双曲线相交于不同的两点、，所以，利用弦长公式与韦达定理解方程即可求出答案．

【解析】
（1）依题意，由，

得双曲线方程为，

将点代入上式，得，

解得（舍去）或，

故所求双曲线方程为；

（2）设，

点满足，为线段的中点，

，，

把点代入双曲线方程为，

得动点的轨迹方程：；

（3）依题意，可设直线的方程为，代入双曲线的方程并整理，

得，

直线与双曲线相交于不同的两点、，

，

，

设，，

由韦达定理得，，

于是

，

，即，

化简得，

解得，或，

∴直线的方程为或，或。