Question

教材曾有介绍：圆上的点处的切线方程为我们将其结论推广：椭圆的点处的切线方程为在解本题时可以直接应用,已知直线与椭圆E：有且只有一个公共点.

（1）求的值；

（2）设O为坐标原点,过椭圆E上的两点A、B分别作该椭圆的两条切线，且与交于点M

①设，直线AB、OM的斜率分别为,求证：为定值；

②设，求△OAB面积的最大值.

Answer

（1）；（2）证明见解析；②．

【解析】

（1）将直线代入椭圆方程，得到的方程，由直线和椭圆相切的条件：判别式为0，解方程可得的值；

（2）①设切点，，，，可得切线，，再由代入上式，结合两点确定一条直线，可得切点弦方程，即有的斜率，结合两点的斜率公式，即可得证；

②由①可得的方程为，运用点到直线的距离公式和直线与椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，求得的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值．

【解析】
（1）将直线代入椭圆方程，

可得，

由直线和椭圆相切，可得△，

解得（由；

（2）①证明：设切点，，，，

可得切线，，

由与交于点，可得，，

由两点确定一条直线，可得的方程为，即为，

即有，，可得为定值；

②由①可得的方程为，

原点到直线的距离为，

由消去，可得，

，，

可得，

可得的面积，

设，

，

当且仅当即时，取得最大值．