Question

平面内的动点与的距离差的绝对值等于.

（1）求点的轨迹的标准方程；

（2）直线过点且与曲线有且只有一个公共点，求直线的方程.

Answer

（1）；（2）或.

【解析】

（1）根据双曲线的定义，可得，根据，可得结果.

（2）假设直线方程，可得含参数关于的一元二次方程，讨论参数并结合，可得结果.

（1）由双曲线的定义知，

点的轨迹是焦点在轴上的双曲线，

其中，又.

故轨迹的标准方程为.

（2）当直线的斜率不存在时，

直线与双曲线有两个公共点，不满足题意.

所以，直线的斜率一定存在.

设直线的方程为.

由，得

.(※)

当时，即

若，方程无解；

若，由方程得.

此时直线方程为

即.

当时，

由，

得.此时直线方程为.

综上，

所求直线的方程为或.