Question

已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，当时，的面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过的直线与椭圆交于两点，过两点分别作定直线的垂线，垂足分别为，求为定值.

Answer

（1）；（2）见详解，定值为4

【解析】

（1）根据三角形面积公式，可得，然后利用余弦定理和椭圆的定义，可得结果.

（2）巧设直线的方程，并于椭圆方程联立，利用韦达定理，计算出以及，然后可得结果.

（1）依题意，

在中，

由余弦定理，

，

即，

，

，则.

故椭圆的方程为

（2）当直线的斜率为时，

共线，不可能形成三角形，

故直线的斜率不为，

设直线的方程为，

，消去得

，

设，

则

化简可得

又

所以(定值).