Question

如图，四棱锥的一个侧面为等边三角形，且平面平面，四边形是平行四边形，，，.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）详见解析（2）

【解析】

（1）由面面垂直的性质可得平面，即可证得（2）作于点，过点作于点，连接，以为坐标原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法求平面法向量，利用向量夹角即可求出.

（1）证明：在中，，，，

∴.

又平面平面，

平面平面，

∴平面，∴.

（2）如图，作于点，

则平面，

过点作于点，连接，

以为坐标原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，

，，

由（1）知平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，

则，即，

取，

设平面与平面所成二面角的平面角为，

则.

所以二面角的余弦值为.