Question

已知椭圆的离心率为是上一点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设是分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于的直线交于异于的两点．点关于原点的对称点为．证明：直线与轴围成的三角形是等腰三角形．

Answer

（1）；（2）证明见解析．

【解析】

试题（1）因为离心率为，所以；即的方程为：，代入即可；（2）设直线的斜率为,则要证直线与轴围成的三角形是等腰三角形需证．由已知可得直线的斜率为，则直线的方程为：，联立直线和椭圆的方程，找到斜率，代入相应的量即可．

试题解析：（1）因为离心率为，所以，

从而的方程为：

代入解得：，

因此．

所以椭圆的方程为：

（2）由题设知的坐标分别为，

因此直线的斜率为，

设直线的方程为：，

由得：，

当时，不妨设，

于是，

分别设直线的斜率为，

则，

则要证直线与轴围成的三角形是等腰三角形，

只需证，

而

所以直线与轴转成的三角形是等腰三角形