Question

已知函数，其中，，为自然对数的底数.

（1）若，且当时，总成立，求实数的取值范围；

（2）若，且存在两个极值点，，求证：.

Answer

（1）；（2）详见解析

【解析】

（1）若，且当时，总成立，分类讨论，确定函数的最小值，即可求实数的取值范围；

（2）求出函数的导数，构造新的函数，根据函数的单调性证明即可．

（1）当，则，，

当时，，在 上单调递增，；

当时，在，上单调递减，

在，上单调递增，

，不成立，

即

（2）当时，，

因为存在两个极值点，即

有条件知，为两根，，

不妨设则

，

由（1）知当，，，，即（当且仅当取等号）

所以当时，恒有

又

令

则

所以在 上递增，，从而

综上可得：