Question

在如图所示的几何体中，平面平面，△为等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，，，，，

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见详解；（2）

【解析】

（1）找到平面中与直线平行的直线，利用线线平行证明线面平行即可；

（2）根据题意建立空间直角坐标系，用向量法处理二面角的求解.

（1） 因为，，

所以四边形是平行四边形．

所以．

因为 平面，平面，

所以 平面．即证.

（2）取的中点，连接，

因为，所以．

因为平面平面，平面，

平面平面，

所以平面．

以点为坐标原点，分别以直线，为轴，

轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

则轴在平面内．

因为， ，

所以，，，，

则 ，．

设平面的法向量为，

由 得

令，解得，，得．

由题意得平面的法向量为，

所以．

又因为二面角的平面角为锐角，

所以二面角的余弦值是 ．