Question

已知函数，

（1）求函数的单调区间；

（2）若不等式对任意 恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）当 时，递增区间为；当时，递减区间是，递增区间是；（2）

【解析】

（1）求导，对参数进行分类讨论，求得函数的单调区间；

（2）构造函数，利用进行适度放缩，从而判断函数单调性，找到对应的参数范围即可.

（1）由题意，得．

①当 时，，在上为增函数；

②当 时，

当 时，， 在上为减函数，

当 时，， 在 上为增函数．

综上所述，当 时，的单调递增区间为；

当时， 的单调递减区间是，单调递增区间是．

  （2）由不等式 ，对恒成立，

即，对 恒成立．

构造函数，

则．

下面证明：，

令，则

当，单调递减；

当，单调递增；

故，即证，

所以

，

①当时，

在上恒成立，

在上单调递增，

，

即，对恒成立．

②当 时，因为，

所以，即 ，在成立．

故当 时，

，

因为时，，

知 在上为减函数，，

即在 上，不存在使得不等式对任意 恒成立．

综上，实数的取值范围是．