Question

如图，已知三棱柱中，，为上一点，平面．

（1）求证：为的中点;

（2）若平面平面，求证：为直角三角形.

Answer

(1)见解析(2)见解析

【解析】

（1）连接A1C交AC1于O，连接OD，利用线面平行的性质定理和中位线的定义，即可证明D为BC的中点；

（2）由等腰三角形的性质和面面垂直的性质定理，证明AD⊥C1D即可．

证明:(1) 联结交于，联结.

∵四边形是棱柱的侧面， ∴四边形是平行四边形.

∵为平行四边形对角线的交点， ∴为的中点.

∵平面，平面平面 ，

平面，∴

∴为的中位线， ∴为的中点.

（2）∵，为的中点，

∴.

∵平面平面,平面，平面 平面，

∴平面.

∵平面，∴ ，

∴为直角三角形.